用向量来看平面族(Use Vectors to Unders

浏览量:567 2020-07-24 点赞:149

连结:用向量来看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)

接着我们来看些可用「平面族」解决的问题吧!事实上,空间中的直线方程式可表成两面式,因此,在求与直线条件有关的平面方程式问题上,「平面族」常有意想不到的妙用。
看看下面的例子:

求包含$$x$$轴,且过点$$A(1,-1,2)$$的平面方程式。

(解法一)
在$$x$$轴上取一点$$B(1,0,0)$$,且$$x$$轴的方向向量为$$\vec{v}=(1,0,0)$$,

由于所求平面包含$$x$$轴,并过$$A(1,-1,2)$$,

平面的法向量$$\vec{n}~//~\vec{v}\times\vec{AB}=(1,0,0)\times(0,1,-2)=(0,2,1)$$,故取$$\vec{n}=(0,2,1)$$

因此,平面方程式为 $$2y+z=0$$

(解法二)
由于$$x$$轴的直线方程式可写成$$\begin{cases} y=0\\ z=0\end{cases}$$  (两面式),

根据平面族定理,包含$$x$$轴的任意平面可以写成$$y+kz=0$$,

将$$(1,-1,2)$$代入,得 $$k=\frac{1}{2}$$

所以,平面方程式为 $$y+\frac{1}{2}z=0\Rightarrow 2y+z=0$$

再来另一个例子:

包含直线$$L_1:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$$与直线$$L_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{6}$$的平面方程式

(解法一)
由题意可知,$$L_1$$的方向向量$$\vec{v_1}=(1,2,3)$$,点$$A(-1,3,2)$$在$$L_1$$上;

$$L_2$$的方向向量$$\vec{v_2}=(2,4,6)$$,点$$B(2,-1,3)$$在$$L_2$$上。

由于$$\vec{v_1}~//~\vec{v_2}$$,所求平面的法向量

$$\vec{n}~//~\vec{v_1}\times\vec{AB}=(1,2,3)\times(3,-4,1)=(14,8,-10)=2(7,4,-5)$$,

取$$\vec{n}=(7,4,-5)$$,因此,所求平面方程式为$$7x+4y-5z+5=0$$

(解法二)
我们可将$$L_1$$改写成两面式$$\begin{cases} \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{2}\\\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} 2x-y+5=0\\3y-2z-5=0\end{cases}$$,

根据平面族定理,过$$L_1$$的平面方程式可设为$$(2x-y+5)+k(3y-2z-5)=0$$,

又包含$$L_2$$,将点$$B(2,-1,3)$$代入平面方程式,得$$k=\frac{5}{7}$$。

因此,所求平面方程式为$$(2x-y+5)+\frac{5}{7}(3y-2z-5)=0\Rightarrow 7x+4y-5z+5=0$$。

事实上,除了上述的问题外,平面族对于我们理解三元一次联立方程组的几何意义与行列式表示法的连结,有着很大的助益。这是接下来所要说明的部份。

给定方程式$$ax+by+cz+d=0$$,其几何意义代表空间中的一个平面,

因此三元一次联立方程组$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}$$的解,

就是要找出空间中三平面

$$E_1:a_1x+b_1y+c_1z=d_1$$,$$E_2:a_2x+b_2y+c_2z=d_2$$与$$E_3:a_3x+b_3y+c_3z=d_3$$ 的共同交点坐标。

如何求解?解的形态为何?高中数学是由克拉玛公式的观点切入,得到一般性的判断準则。
主要结论及对应图形整理表列如下:

用向量来看平面族(Use Vectors to Unders 用向量来看平面族(Use Vectors to Unders

然而,我们想将空间中三平面的相交情形与行列式的表示法建立关係时,关係(1)可由克拉玛公式来看出;关係(2)至(6)恰为三平面间的平行与重合,与平面方程式係数是否成比例有关,容易与行列式的运算性质衔接,而关係(7)和(8)则是较难直接从行列式的运算性质看出结果,但是由平面族定理则会变得非常容易理解。

以关係(7)–三相异平面交于一线为例,

由于$$E_1$$、$$E_2$$及$$E_3$$相交于一线,所以$$E_3$$可以表成$$\alpha E_1+\beta E_2$$,

也就是说平面$$E_3$$的方程式$$a_3x+b_3y+c_3z-d_3=0$$

与$$\alpha(a_1x+b_1y+c_1z-d_1)+\beta(a_2x+b_2y+c_2z-d_2)$$等价。

故 $$\displaystyle\frac{a_3}{\alpha a_1+\beta a_2}=\frac{b_3}{\alpha b_1+\beta b_2}=\frac{c_3}{\alpha c_1+\beta c_2}=\frac{d_3}{\alpha d_1+\beta d_2}=t$$

所以

$$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ t(\alpha a_1+\beta a_2)&t(\alpha b_1+\beta b_2)&t(\alpha c_1+\beta c_2)\end{array}\right|=0$$

$$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ t(\alpha d_1+\beta d_2)&t(\alpha b_1+\beta b_2)&t(\alpha c_1+\beta c_2)\end{array}\right|=0$$

同理,$$\Delta_y=0$$,$$\Delta_z=0$$

至于关係(8)–三平面两两相交于一直线且三直线平行,则可由关係(7)加以延伸,

由图(8)观察可以看到$$E_3$$恰与某一个过$$E_1$$与$$E_2$$交线的平面$$\alpha E_1+\beta E_2$$平行,

即平面$$a_3x+b_3y+c_3z-d_3=0$$

与平面$$\alpha(a_1x+b_1y+c_1z-d_1)+\beta(a_2x+b_2y+c_2z-d_2)=0$$平行,

故$$\displaystyle\frac{a_3}{\alpha a_1+\beta a_2}=\frac{b_3}{\alpha b_1+\beta b_2}=\frac{c_3}{\alpha c_1+\beta c_2}\neq\frac{d_3}{\alpha d_1+\beta d_2}$$。

所以$$\Delta=0$$,而且$$\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z$$至少一个不为0

再一次看见「平面族」的威力了吧!

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