用向量来看圆系(Use Vectors to Underst

浏览量:387 2020-07-24 点赞:686

在圆与直线的章节中,常有这样的难题:

过两圆 $$C_1:x^2+y^2+4x-6y-12=0$$ 与 $$C_2: x^2+y^2-2x+2y-18=0$$

的交点,求圆心在 $$x+y+1=0$$ 上的圆方程式。

一种可能的作法是先找出 $$C_1$$ 与 $$C_2$$ 的交点,再设法求所找之圆的圆心坐标及半径,解法如下:

首先,解联立方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 4x – 6y – 12 = 0 \cdots \cdots (1)\\ {x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 18 = 0 \cdots \cdots (2)\end{array} \right.$$

由 $$(1)(2)$$ 可得,过两圆交点的直线为 $$\displaystyle{3x} – 4y + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{4y – 3}}{3}$$,

代入 $$(2)$$ 式,得

$${(\frac{{4y – 3}}{3})^2} + {y^2} – 2(\frac{{4y – 3}}{3}) + 2y – 18 = 0$$

$$\Rightarrow 5{y^2} – 6y – 27 = 0 \Rightarrow y = 3$$ 或 $$y=-\frac{9}{5}$$

当 $$y=3$$ 时,则 $$x=3$$;当 $$y=-\frac{9}{5}$$,则 $$x=-\frac{17}{5}$$

因此,交点坐标为 $$A(3,3)$$ 及 $$B(-\frac{17}{5},-\frac{9}{5})$$,且弦 $$\overline{AB}$$ 的中点为 $$(-\frac{1}{5},\frac{3}{5})$$

$$\therefore$$ 弦 $$\overline{AB}$$ 的中垂线方程式为 $$4x+3y-1=0$$

而所求之圆的圆心为 $$x+y+1=0$$ 及弦 $$\overline{AB}$$ 的中垂线之交点,

解联立方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y – 1 = 0\\ x + y + 1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = – 5 \end{array} \right.$$,

所求之圆的圆心为 $$O(4,-5)$$,半径 $$r=\overline{OA}=\sqrt{65}$$

因此,所求之圆的方程式为 $$(x-4)^2+(y+5)^2=65$$

然而,过程相当繁複,迫使许多高中教师只好使出压箱招式,提出「圆系」的解法:

设所求之圆的方程式为

$$({x^2} + {y^2} + 4x – 6y – 12) + k({x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 18) = 0$$

$$\Rightarrow (k + 1){x^2} + (k + 1){y^2} + ( – 2k + 4)x + (2k – 6)y + ( – 18k – 12) = 0 \cdots~~~(1)$$

整理后,可得圆心 $$\displaystyle(-\frac{{-2k+4}}{{2(k+1)}},-\frac{{2k-6}}{{2(k+1)}})=(\frac{{k – 2}}{{k+1}},\frac{{-k+ 3}}{{k + 1}})$$

依题意,圆心在 $$x+y+1=0$$ 上,

$$\Rightarrow \displaystyle\frac{{k-2}}{{k+1}} + \frac{{-k+3}}{{k+1}}+1=0 \Rightarrow k + 2 = 0 \Rightarrow k=-2$$,

代入 $$(1)$$,得所求之圆的方程式为 $$x^2+y^2-8x+10y-24=0$$

儘管方法变得简洁,但其中关键步骤─圆系─将所求之圆写成两圆之线性组合,却是需要进一步说明。什幺是「圆系」呢?简单地说,就是过两圆交点的圆方程式,可以写成已知两圆方程式的线性组合。

给定两圆

$${C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0$$ 与 $${C_2}:{x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2} = 0$$,

且两圆交于 $$A$$、$$B$$ 两点。则过两交点 $$A$$、$$B$$ 的圆 $$C_3$$ 的方程式可以写成

$$\alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$,$$\alpha^2+\beta^2\ne 0$$。

更进一步,若 $$\alpha\ne 0$$,则圆 $$C_3$$ 方程式可以改写成

$$({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \frac{\beta }{\alpha }({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$,

即 $$({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$

除了利用平面族定理的结果与形式「类推」圆系外,能不能有其他的说法可以清楚地出线性组合的由来?此处我们想透过向量中三点共线的性质来帮助我们达成这个目的。先複习一下,什幺是三点共线性质:

$$A$$、$$B$$、$$P$$ 三点共线存在 $$\Leftrightarrow$$ 存在 $$t\in \mathbb{R}$$,且 $$t\ne 0$$,使得 $$\vec{AP}=t\vec{AB}$$

$$\Leftrightarrow$$ 存在两实数 $$\alpha$$、$$\beta$$,且 $$\alpha+\beta=1$$,使得 $$\vec{OP}=\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}$$

接下来,就可以展开我们对「圆系」的讨论。

用向量来看圆系(Use Vectors to Underst

首先,从图一,不难看到一个简单的几何性质:凡过交点 $$A$$、$$B$$ 的圆 $$C_3$$,它的圆心一定会与已知圆 $$C_1$$、$$C_2$$ 的圆心 $$O_1$$ 与 $$O_2$$ 共线。由 $$\overline{AB}$$ 为各圆的公共弦来看,这个性质显然是成立的。如此一来,若我们设 $$O$$ 为原点,则

$$\displaystyle{C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0 \Rightarrow {O_1}( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2}) \Rightarrow\vec{OO_1}=( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2})$$

$$\displaystyle{C_2}:{x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2} = 0 \Rightarrow {O_2}( – \frac{{{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_2}}}{2}) \Rightarrow\vec{OO_2}= (-\frac{{{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_2}}}{2})$$

用向量来看圆系(Use Vectors to Underst

又 $$O_1$$$$O_2$$ 与 $$O_3$$ 三点共线故 $$\vec{OO_3}=\alpha\vec{OO_1}+\beta\vec{OO_2}$$,其中 $$\alpha+\beta=1$$。 

因此,

$$\begin{array}{ll}\displaystyle \vec{OO_3} &=\displaystyle \alpha ( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2}) + \beta ( – \frac{{{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_2}}}{2}) = ( – \frac{{\alpha {d_1} + \beta {d_2}}}{2}, – \frac{{\alpha {e_1} + \beta {e_2}}}{2})\\&=\displaystyle(-\frac{{\frac{{\alpha{d_1}+\beta {d_2}}}{{\alpha+ \beta }}}}{2},-\frac{{\frac{{\alpha {e_1}+\beta {e_2}}}{{\alpha+\beta }}}}{2})\end{array}$$

 (因为 $$\alpha+\beta=1$$)

所以,$$C_3$$ 的圆心 $$O_3$$ 坐标为 $$\displaystyle( – \frac{{\frac{{\alpha {d_1}+\beta {d_2}}}{{\alpha+ \beta }}}}{2}, – \frac{{\frac{{\alpha {e_1}+ \beta {e_2}}}{{\alpha+ \beta }}}}{2})$$

再逆推,$$C_3$$ 的圆方程式可知为 $${x^2} + {y^2} + (\frac{{\alpha {d_1} + \beta {d_2}}}{{\alpha+ \beta }})x+ (\frac{{\alpha {e_1}+ \beta {e_2}}}{{\alpha+ \beta }})y + ($$ 常数项 $$)=0$$

$$\Rightarrow (\alpha+ \beta ){x^2} + (\alpha+ \beta ){y^2} + (\alpha {d_1} + \beta {d_2})x + (\alpha {e_1}+ \beta {e_2})y + ($$ 常数项 $$)=0$$

$$\Rightarrow \alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y) + ($$ 常数项 $$)=0~~~~~~(*)$$

接着我们要求出常数项的部份,由于交点 $$A(x_1,y_1)$$ 在圆 $$C_1$$ 与 $$C_2$$ 上,必须满足方程式

$${x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_1}{x_1} + {e_1}{y_1} + {f_1} = 0$$ 与 $${x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_2}{x_1} + {e_2}{y_1} + {f_2} = 0$$。

又 $$A$$ 点在圆 $$C_3$$ 上,满足 $$(*)$$ 式为

$$\alpha(x_1^2+y_1^2+d_1x_1+e_1y_1)+\beta(x_1^2+y_1^2+d_2x_1+e_2y_1)+($$ 常数项 $$)=0$$

$$\Rightarrow \alpha(-f_1)+\beta(-f_2)+($$ 常数项 $$)=0\Rightarrow$$ 常数项 $$=\alpha f_1+\beta f_2$$

(由 $$B$$ 点也会得出相同的结果),进一步整理 $$(*)$$ 式,

$$\alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y) + (\alpha {f_1} + \beta {f_2}) = 0$$

$$\Rightarrow \alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$

因此,给定两圆 :$${C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0$$ 与 $${C_2}:{x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2} = 0$$,且两圆交于 $$A$$、$$B$$ 两点。我们不难发现:过两交点 $$A$$、$$B$$ 的圆 $$C_3$$ 的方程式可以写成两圆方程式的线性组合

$$\alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$

 当 $$\alpha\ne 0$$ 时,进一步改写成

$$({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$

事实上,若我们再进一步推想:两圆相交于两点时,过两交点的圆都可以表示成两圆方程式的线性组合。那幺,若考虑一圆与一线相交于两点时,则过两交点的圆可以表示成圆方程式与直线方程式的线性组合吗?

如右图,给定 $${C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0$$ 及直线 $$L:d_2x+e_2y+f_2=0$$,则过 $$C_1$$ 与 $$L$$ 之交点 $$A$$、$$B$$ 的圆该如何描述呢?

用向量来看圆系(Use Vectors to Underst

仔细想想,如果将直线看成圆心在无限远处,半径为无限大的圆,由上述的说明,不难了解圆 $$C_2$$ 也可写成 $$({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$。不过,我们也可由向量的观点加以说明。因为 $$L$$ 的法向量 $$\vec{n}=(d_2,e_2)$$,加上 $$O_1$$、$$O_2$$ 二点共线,

所以

$$\displaystyle\vec{OO_2} = \vec{OO_1} + t\vec{n} = ( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2}) + t({d_2},{e_2}) = ( – \frac{{{d_1} + ( – 2t){d_2}}}{2}, – \frac{{{e_1} + ( – 2t){e_2}}}{2})$$

$$\displaystyle= ( – \frac{{{d_1} + k{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_1} + k{e_2}}}{2})$$   (令 $$k=-2t$$)

$$\displaystyle\Rightarrow{O_2}( – \frac{{{d_1} + k{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_1} + k{e_2}}}{2})$$

所以,圆 $$C_2$$ 的方程式可表为

$${x^2} + {y^2} + ({d_1} + k{d_2})x + ({e_1} + k{e_2})y + ($$ 常数项 $$)=0$$

$$\Rightarrow ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + k({d_2}x + {e_2}y) + ($$ 常数项 $$)= 0$$

接下来求常数项,由于点 $$A(x_1,y_1)$$ 在圆 $$C_1$$ 与直线 $$L$$ 上,

满足 $${x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_1}{x_1} + {e_1}{y_1} + {f_1} = 0$$ 与 $${d_2}{x_1} + {e_2}{y_1} + {f_2} = 0$$。

又点也在圆上,所以满足$$(**)$$式,

$$({x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_1}{x_1} + {e_1}{y_1}) + k({d_2}{x_1} + {e_2}{y_1}) + ($$ 常数项 $$)=0\Rightarrow$$ 常数项 $$=f_1+kf_2$$

整理$$(**)$$式,便可得到

$$({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + k({d_2}x + {e_2}y) + ({f_1} + k{f_2}) = 0$$

$$ \Rightarrow ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0$$

更进一步,过两圆交点的直线(常被称为两圆的根轴)方程式如何求呢?由上述关係推敲,不难发现 $$C_2=C_1+kL\Rightarrow kL=(C_1-C_2)$$,所以根轴的方程式正是由这两圆方程式相减即得。

综合上述,本文利用向量的性质来说明圆系线性组合形式的由来,藉此展现数学中基本观念的延伸与推广的重要性。如此一来,才能够将许多学习过的主题连结起来,让数学知识得以流动,激发生命力,而非零碎地理解它。

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